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特色课例–抛物线及其标准方程

• 高中数学
• 杨文国
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抛物线及其标准方程教案

 

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总课题		抛物线及其标准方程	总课时	1
学习目标	1．掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程；
	2．根据定义画出抛物线的草图
	3．能根据题设，求出抛物线的标准方程、焦点、准线
重难点	1．抛物线的定义 2．抛物线标准方程的不同形式

 

第 1课时			抛物线及其标准方程			课 型		授新课
授课班级		时间		效果	授课班级	时间	效果
高二（2）班					高二（3）班
复习与问题（5分钟）
1．在初中所学的二次函数的图像是什么形状？    二次函数的顶点在什么地方时函数的形式最简洁？ 写出其最简洁的函数形式。 2．二次函数抛物线的开口向上或向下，若将一个抛物线旋转，会改变抛物线的形状吗？   3．抛物线到底是由满足什么条件的动点组成轨迹呢？看课件演示并回答。
知识的形成与理解（13分钟）
1. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 对定义的进一步理解：①这个定点叫抛物线的，定直线叫抛物线的  ， ②定点可以在定直线上吗？ ③记定点到定直线的距离为P，过定点F作定直线的垂线，垂足为K，则 ， （P的取值范围怎样？）   2．推导抛物线的标准方程： 所建的坐标系中定点（焦点）的坐标是 ，定直线（准线）的方程是  。 ③动点 要满足得条件是什么？设抛物线上的点 ，则有 ④化简的结果是： ， ⑤它表示的是：焦点在 x轴的正半轴 上，焦点坐标是 ，准线方程是 的抛物线方程。 ⑥还可以怎样建立坐标系?得到的抛物线的标准方程是一样的吗？ 3．归纳这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下: 图形 焦点         准线         标准方程         注：（1）所建坐标系的共同特点：①抛物线都过原点；②对称轴为坐标轴；③准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 。   不同点是：焦点位置不同，方程的类型就不同，因此解题时要特别关注方程和焦点位置的对应关系。 （2）怎样确定焦点所在位置？标准方程中焦点在一次项对应的坐标轴上，而且“+”在正半轴上，“-”在负半轴上。 （3）注意抛物线标准方程的公式化形式：左边为系数是1的平方项，右边为系数是 的一次项，这个一次项所在的坐标轴是方程的对称轴，也是焦点所在的坐标轴。
基本例题分析（12分钟）
例1 已知抛物线标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程 分析：在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； 解：p＝3，焦点坐标是（ ，0）准线方程是x＝－ ．   例2．已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 焦点在y轴负半轴上， ＝2， 故所求抛物线的标准议程是 ． 例3．已知过坐标原点且以坐标轴为对称轴的抛物线过点 ，求其标准方程。 （分析：画一画，过 的抛物线有可能在哪些坐标轴上？） 解：当焦点在x轴负半轴上时，设抛物线的标准方程是 ， 抛物线过 ， ，所求抛物线的标准方程为： 当焦点在y轴正半轴时，设抛物线的标准方程是 ， 抛物线过 ， ，所求抛物线的标准方程为： 故所求的抛物线的标准方程是： 或  （提醒学生不妨验算一下所求方程是否过 ）
课堂形成性练习（12分钟）
1．已知抛物线的标准方程是（1） ，（2） ，求它的焦点坐标和准线方程． 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值． 解：（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3． （2）先化为标准方程 ， ，焦点坐标是（0， ）， 准线方程是y＝－ . 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是F（－2，0）  （ y2＝－8x ） （2）准线方程是   （x2＝－ y ） （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上 （x2＝8y或x2＝－8y） （4）经过点A（6，－2） （ 　或　  ） 点评：抛物线方程中只有一个系数P，所以只要一个已知条件就可求出抛物线方程，但一定要弄清方程的类型（或焦点的位置）若焦点是不定型就要进行分类讨论。反过来根据条件求出P并确定焦点位置也就求出了抛物线的标准方程。
小结易错点分析及注意事项
1．小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念； 2．注意（1）由方程可确定焦点位置；由焦点位置或准线方程也可确定标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0；（3）过一已知点的抛物线的标准方程要考虑几种可能的类型（分类讨论思想） 3．函数与方程的联系与区别。
本 课 作 业	课本：P64练习1，2， P69习题2.3A组 1，2，4。

 

抛物线及其标准方程学案

复习与问题

1．在初中所学的二次函数的图像是什么形状？ 二次函数的顶点在什么地方时函数的形式最简洁？ 写出其最简洁的函数形式。 2．二次函数抛物线的开口向上或向下，若将一个抛物线旋转，会改变抛物线的形状吗？   3．抛物线到底是由满足什么条件的动点组成轨迹呢？看课件演示并回答。

知识的形成与理解

1. 抛物线定义： 根据演示总结抛物线的定义：     。 对定义的进一步理解：①这个定点叫抛物线的，定直线叫抛物线的  ， ②定点可以在定直线上吗？ ③记定点到定直线的距离为P，过定点F作定直线的垂线，垂足为K，则 ， （P的取值范围怎样？）   2．推导抛物线的标准方程： ①怎样建坐标系？ ②所建的坐标系中定点（焦点）的坐标是 ，定直线（准线）的方程是  。 ③动点 要满足得条件是什么？设抛物线上的点 ，则有 ④化简的结果是：  ， ⑤它表示的是：焦点在上，焦点坐标是  ，准线方程是的抛物线方程。 ⑥还可以怎样建立坐标系?得到的抛物线的标准方程是一样的吗？ 3．归纳这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下: 图形 焦点         准线         标准方程         注：（1）所建坐标系的共同特点：    ，   不同点是：  。 （2）怎样确定焦点所在位置？    .

基本例题分析

例1.已知抛物线标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程     例2.已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程     例3．已知过坐标原点且以坐标轴为对称轴的抛物线过点 ，求其标准方程。

课堂形成性练习

1．已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．         2．根据下列条件写出抛物线的标准方程。 （1）焦点是F（－2，0） （2）准线方程是     （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上 （4）经过点A（6，－2）

小结易错点分析及注意事项

1．小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念； 2．注意（1）由方程可确定焦点位置；由焦点位置或准线方程也可确定标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0；（3）过一已知点的抛物线的标准方程要考虑几种可能的类型（分类讨论思想） 3．函数与方程的联系与区别。

 

 

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